Konstante Folge Beispiel Essay

(3) Schüler nehmen an zwei Tagen jeweils um 9 Uhr; 12 Uhr, 15 Uhr und 18 Uhr ein Messung der Lufttemperatur vor. Sie erhalten folgende Werte (in ): 7; 18; 19; 12; 9; 19; 20; 17 (Bild 3)

Vergleicht man die Zahlenwerte in diesen drei Beispielen, so kann man feststellen, dass in (1) die Glieder der Preisfolge ständig zunehmen (Bild 1), in (2) der Lagerbestand sich von Tag zu Tag verringert oder mindestens gleich bleibt (Bild 2), in (3) jedoch keine solcher Regelmäßigkeiten auftritt (Bild 3).

Dies führt zu folgenden Begriffsbildungen (Definitionen):

  • Eine Zahlenfolge heißt genau dann monoton wachsend, wenn für alle gilt:
  • Eine Zahlenfolge heißt genau dann monoton fallend, wenn für alle gilt:

Bei monoton wachsenden oder monoton fallenden Folgen können aufeinanderfolgende Folgenglieder gleich sein.
Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.

Konstante Zahlenfolgen wie z. B. 

oder sind sowohl monoton wachsend oder als auch monoton fallend, denn mit gilt auch und .

Beispiel 1:
Es ist das Monotonieverhalten der Zahlenfolge zu untersuchen.

Wir betrachten hierzu die Differenz . Es gilt im vorliegenden Fall:

Der als Resultat erhaltene Bruch ist stets positiv, da Zähler und Nenner positiv sind.
Wegen ist die Folge also streng monoton wachsend.

Beispiel 2:
Die Zahlenfolge ist auf Monotonie zu untersuchen.

Die Anfangsglieder der Folge lauten Bereits hieraus kann man entnehmen, dass die Folge wegen , aber nicht monoton sein kann – es handelt sich hier (wegen des Vorzeichenwechsels von Glied zu Glied) um eine alternierende Zahlenfolge. Die rechnerische Überprüfung ergibt in diesem Fall:

Diese Differenz ist aber in Abhängigkeit davon, ob n gerade oder ungerade ist, jeweils negativ oder positiv. Die Folge ist also nicht monoton.

  • Eine Zahlenfolge heißt genau dann nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl gibt, sodass für alle Folgeglieder gilt:

    Man nennt die reelle Zahl s dann eine obere Schranke der Zahlenfolge .
  • Eine Zahlenfolge heißt genau dann nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl gibt, sodass für alle Folgeglieder gilt:

    Man nennt die reelle Zahl s dann eine untere Schranke der Zahlenfolge .

Anmerkung: Einfach von „Schranke“ spricht man, wenn , also wenn alle in dem Intervall liegen.

Eine Zahlenfolge heißt genau dann beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.

Beispiel 3:
Die Folge ist auf Beschränktheit zu untersuchen.

Wegen kann man vermuten, dass eine obere Schranke von ist. Um dies nachzuweisen, muss man zeigen, dass für alle n gilt. Dies trifft zu, denn

(der Zähler ist negativ und der Nenner für alle n positiv).

Beispiele[Bearbeiten]

Konstante Folge[Bearbeiten]

Eine Folge heißt , wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

Mit lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge für alle .

Arithmetische Folgen[Bearbeiten]

haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

Ein weiteres Beispiel ist die Folge mit für alle :

Geometrische Folge[Bearbeiten]

Bei der ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge mit dem konstanten Verhältnis :

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel der geometrischen Folge?

Die rekursive Formel für die geometrische Folge lautet . Das heißt und . Analog ist . Damit lautet die explizite Formel einer geometrischen Folge:

Harmonische Folge[Bearbeiten]

Die Folge nennt man . In Vorlesungen zur Analysis wird sie gerne als Beispiel herangezogen, um mit ihr gewisse Konzepte zu zeigen. Die ersten Folgenglieder dieser Folge lauten:

Demgegenüber wird die Folge bzw. genannt. Es handelt sich dabei um die Folge

beziehungsweise

Für

Beispiel einer konstanten Folge: für alle
Beispiel für eine arithmetische Folge: für alle
Beispiel einer geometrischen Folge: für alle
Die ersten zehn Folgenglieder der harmonischen Folge

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